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Investigador Dominicano Publica Investigación Sobre la Relación Entre Varias Fórmulas Geométricas

Autor: Enmanuel García*

La Fórmula de Herón, que lleva el nombre de Herón de Alejandría, da el área de un triángulo cuando se conoce la longitud de los tres lados. El matemático y astrónomo indio, Brahmagupta, en el siglo VII, dio una fórmula análoga para un cuadrilátero convexo cíclico. En 1842, el matemático alemán, Carl Bretschneider, relacionó el área de un cuadrilátero convexo general a las longitudes de sus lados y la suma de dos ángulos opuestos. La Fórmula de Herón es un caso especial de la Fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico.  La Fórmula de Herón y la Fórmula de Brahmagupta son casos especiales de la Fórmula de Bretschneider para el área de un cuadrilátero.

El renombrado matemático británico, John H. Conway, en correspondencia con Peter Doyle, utilizó dos fórmulas trigonométricas para probar la Fórmula de Herón. El respetado geómetra irlandés, John Casey, en su libro «Tratado de Trigonometría Plana», utilizó otras dos fórmulas trigonométricas para probar la Fórmula de Brahmagupta. Resulta que las dos fórmulas trigonométricas utilizadas por Casey para un cuadrilátero cíclico generalizan las dos utilizadas por Conway para un triángulo. Nadie parece haberse preguntado si las dos fórmulas utilizadas por Casey podrían generalizarse a un cuadrilátero general y con ellas probar la fórmula de Bretschneider. ¡El último eslabón de esta cadena es precisamente de lo que trata mi último artículo: «Two Identities and their Consequences»!

Cuadrilátero Bicéntrico

Por otro lado, es interesante notar la semejanza de estos teoremas de áreas con las identidades (4), (1), (5) y (6) del citado artículo. De hecho, así como la Fórmula de Herón y la Fórmula de Brahmagupta son casos especiales de la Fórmula de Bretschneider, de la misma manera, las identidades (4) y (1) son casos especiales de las identidades (5) y (6). En realidad, esto explica mejor el desarrollo Herón-Brahmagupta-Bretschneider. Finalmente me pregunto cuántas otras implicaciones interesantes podrían tener las identidades (5) y (6). ¿Qué otro proyecto de investigación podrían inspirar? Por ejemplo, ¿será posible obtener identidades análogas en geometría esférica o hiperbólica como sugiere el trabajo de G.A. Bajgonakova y A. Mednykh? Si es así, ¿cómo se relacionarían con otras identidades conocidas en tales geometrías?

Este artículo fue aprobado bajo régimen de emergencia (un artículo fue sacado para que se pudiera publicar este mes) por la revista MATINF, de la Universidad de Piteşti, Rumanía. El enlace al artículo «Two Identities and their Consequences» se puede encontrar debajo (ver págs. 5-11).

http://matinf.upit.ro/MATINF6/RevistaMATINF_6.pdf

*El autor es egresado de la carrera de ingeniería civil de la Universidad Dominicana O&M y actualmente se desempeña como profesor de esa universidad y del Colegio New Horizons.